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棣莫弗定理
设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:
Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.
因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以
Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
其实该定理可以推广为一般形式:
棣莫弗定理的推广 设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn), 则：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].
证：用初等数学的知识已经不好来证明这个定理推广，需要运用欧拉公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（详见我的词条《泰勒公式》）给予证明.把所有的复数改写成幂指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn, 所以有：
Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn).再把这个指数形式改写成三角形式就可得到：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].
在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,则能导出复数开方的公式 |
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发表于 2007-11-11 14:19:56
楼主
发表于 2007-11-11 14:27:19
